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2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨 2022年全国高中数学联合竞赛加试试题（A1卷）一．（本题满分 40分）设实数a,b,c,d 满足ab,cd ，且a + 2 b + 3 c + 4 d =1．记P = (a b)(b c)(c d)．求P 的最大值与最小值．二．（本题满分 40分）如图，在锐角三角形△ABC中，H 为垂心，BD,CE为高，M 为边BC的中点，在线段BM , DE 上各取一点P,Q，并在线段PQ上取一点R ，使BP CP PR得 = = ．设 L为△AHR的垂心．证明：直线QM 平分线段RL．EQ DQ QR（答题时请将图画在答卷纸上）CDHML PQ RAE B三．（本题满分 50 分）是否存在一个无限正整数集合 S ，具有下述性质：对任意x, y, z,w S ，xy, z w，若有序对 (x, y)(z,w)，则 xy+2022与 zw+2022互素？四．（本题满分 50分）给定实数 r ，甲、乙两人玩如下的游戏．黑板上写着一个含有三个绝对值的算式：S =++ 其中 6 个空格“ ”中尚未填数．每一回合，甲选取区间[0,1]中的一个实数（不同回合中可以选相同的数），乙将该数填在某个空格之中．经过六个回合之后所有 6 个空格中均填了数， S 的值也随之确定．若 Sr，则甲胜，否则乙胜．求所有的实数 r ，使得甲有获胜策略．2022 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨 2022 年全国高中数学联合竞赛加试（A1 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分 40 分）设实数 a, b, c, d 满足 a b, c d ，且a2 b 3 c4 d 1．记 P(a b)(b c)(c d ) ．求 P 的最小值与最大值．解：先求P 的最小值．根据条件，得Pabbccd1abbc2 c2 d 213 ab bc2 c2 d

23

13a2 b 3 c2 d1 1 3 1

． ① 232 3 54……………10 分

当 d0, ab 1 1 1 c 0，且 a 2b 3c 1，即 (a, b, c, d ) , , , 0

时， 6 6 6 1①中各处不等式均取等，且此时 P 0，所以 P 的最小值为 ．54……………20 分再求 P 的最大值．仅需考虑b c的情况（否则，若b c，则有 P 0）．令 xa b, yb c, zc d (x, y, z 0) ，则 Pxyz ．由于1 a2 b 3 c4 dad2 bd cda d2 b dc d (x y z) 2(y z) zx 3y 4z 33 x 3y 4z 33 12P ， ②1 1 1即有 P3． ……………30 分 12 3 324

当 c0 且 x3y4z 1 ，即 (a, b, c, d ) 4 1 1 , , 0,时，②中各处不等3 9 9 12 1式均取等，所以 P 的最大值为 ．……………40 分3241二．（本题满分 40 分） 如图，在锐角△ ABC 中，H 为垂心，BD, CE为高，M 为边 BC 的中点，在线段 BM , DE 上各取一点 P, Q ，并在线段 PQ上取一点 R ，BP CP PR使得 = = ．设 L为△ AHR的垂心．证明：直线QM 平分线段 RL．EQ DQ QRCSD H ML(T) PQ RA E B证明：由垂心的性质易知△HBC ∽△HED BP CP，又 = ，故 P, Q 为这两EQ DQHP BC个相似三角形的对应点，所以 = ，且∠BHP = ∠EHQ．HQ DE由条件及比例性质知PR BP +CP BC HP= = = ，QR EQ + DQ DE HQ故HR平分∠PHQ ，从而HR也平分∠BHE ．……………10 分在线段CM 上取点 S ，使得MS = MP ，过点 R 作 BC 的平行线，与QS 相交于点T ，下证T 与 L重合．因为△ ABC ∽△ ADE BS CP DQ，且 = = ，故 S , Q是相似的对应点．CS BP EQ……………20 分AS BC所以 = ，且∠CAS = ∠EAQ ．AQ DE注意到 RT || PS ，有AS BC PR ST= = = ，AQ DE QR QT故 AT 平分∠SAQ，从而 AT 也平分∠BAC ．……………30 分所以∠AHR +∠HAT =1 ∠AHE + ∠BHE

+

∠HAE1 ∠DAE 2 2 = ∠AHE +∠HAE = 90°，故 AT ⊥ HR ．又由 RT || BC 及 BC ⊥ AH ，得 RT ⊥ AH ，故T 为△ AHR的垂心，从而T 与 L重合．最后，由△QRL∽△QPS ，且M 是 SP 的中点，可知QM 平分线段 RL．……………40 分2三．（本题满分 50 分）是否存在一个无限正整数集合 S ，具有下述性质：对任意 x, y, z, w∈S , x 互素？解：存在．记 k = 2022．对任意整数 n ≥ 2，若正整数 x1 k 互素，且C2n 个数 xi x j + k (1≤ i 我们归纳地构造一列正整数 a1, a2 , a3, ，使得对任意整数 n ≥ 2，该数列的前n项具有性质Pn ，这样取 S ={a1, a2 , a3, }即满足条件． ……………10 分令 a1 =1, a2 = k +1，显然 a1, a2 具有性质P2 ．假设已经取了 a1, a2 , , an 具有性质Pn ，则令an+1 = ∏ f (a jai )(aia j + k)，1≤i其中对任意正整数 N ， f (N ) 定义为 N 的与 k 互素的最大正约数．……………20 分以下验证 a1, a2 , , an+1具有性质Pn+1．显然 an+1 ≥ a1an + k > an．对任意 i, j (1≤ i 与 k 互素．所以 an+1与 k 互素．对任意 i, j (1≤ i 质可知gcd(aia j + k, alan+1 + k) = gcd(aia j + k, k) = gcd(aia j , k) =1，这里用到 aia j 与 k 互素． ……………30 分对任意1≤ i gcd(aian+1 + k, a jan+1 + k) = gcd (aian+1 + k, (a jai )an+1 )= gcd(aian+1 + k, a jai )（由于 an+1与 k 互素，故 aian+1 + k 与 an+1互素）= gcd (aian+1 + k, f (a jai ))（由于 aian+1 + k 与 k 互素，可从 a jai中去掉 k 的素因子）= gcd (k, f (a jai )) =1（用到 f (a jai ) an+1 ）．又结合 a1, a2 , , an 具有性质Pn ，可知 a1, a2 , , an+1具有性质Pn+1．这样归纳地得到无限序列 a1, a2 , a3, ，从而集合 S ={a1, a2 , a3, }满足要求．……………50 分四．（本题满分 50 分）给定实数 r ，甲、乙两人玩如下的游戏．黑板上写着一个含有三个绝对值的算式：S = || + || + ||，其中 6 个空格“ ”中尚未填数．每一回合，甲选取区间[0, 1]中的一个实数（不同回合中可以选相同的数），乙将该数填在某个空格之中．经过六个回合之后所有 6 个空格中均填了数， S 的值也随之确定．若 S ≥ r ，则甲胜，否则乙胜．求所有的实数 r ，使得甲有获胜策略．3r 15解：当 ≤ 时，甲有获胜策略；当 r 15> 时，乙有获胜策略．8 8首先讨论 4 个空格的情况：T = || + ||．3甲有策略使得T ≥ ：甲先选 0（选 1 也可以），乙第一步选择无实际意义，2T = |0 | + ||．甲再选 1．若乙将其与 0 填在同一个绝对值中，甲再依次选 0、1，可使T = 2 1；若乙将其填在另一个绝对值中，T = |0 | + |1 |，甲再选 ，则21 3某个绝对值得到 ，最后一个数甲可以使另一个绝对值为1，此时T = ．2 23 1乙有策略使得T ≤ ：若甲选的前两个数相差不超过 ，则乙将它们填在同2 21一个绝对值中，这样一个绝对值不超过 ，而另一个绝对值不超过1，从而2T 3 1 1≤ ．若甲选的前两个数相差超过 ，设它们为 a, b，且ba > ，则乙将它们2 2 2T |a | |b | a 0, 1 1填在不同的绝对值中，设 =+∈．易知，b∈ 2, 1 ，故甲选 2 111 1 的第三个数 c必满足 |ac | ≤ （当 c∈ 0, 时）或 |bc | ≤ （当 c∈ , 1 时），22221 3于是乙可以使一个绝对值不超过 ，而另一个绝对值不超过1，从而T ≤ ．2 2……………10 分回到原问题．S 15甲有策略使得 ≥ ：8甲依次选 0、1，若乙将它们填在同一个绝对值中，由T 的讨论知甲可以使得S 1 3 5 15≥ + = > ．以下不妨设乙将它们填在了不同的绝对值中．2 2 83 3甲再选 ．若乙将 填在和 0 或 1 同一个绝对值中，则由T 的讨论知甲可以8 8使得 S 3 3 15 3≥ + = ．以下不妨设乙将 填在了第三个绝对值中，则8 2 8 8S = |0| 3+ |1| + ．86 0 0 S 6 1 3 17 15甲选 ．若乙放在第一个绝对值中，则甲选 、 ，得 = + + = > ；8 8 8 8 82 5 15若乙放在第二个绝对值中，则甲选 1、1，得 S =1+ + = ；若乙放在第三个8 8 83 3 3 15绝对值中，由T 的讨论，甲可使前两个绝对值之和不小于 ，故 S ≥ + = ．2 2 8 8……………30 分15乙有策略使得 S ≤ ：843若甲选的前两个数相差不超过 ，或所选的第三个数与前两个数之一相差不83 3超过 ，则乙可在前三回合内将两个相差不超过 的数填在同一个绝对值中，由8 8T S 3 3 15的讨论知乙可使 ≤ + = ．8 2 83若甲选的前三个数两两相差均大于 ，则乙将三个数填在不同的绝对值中，8现假设 S = |a| + |b 3 3 1 | + |c|，ba > ，c b > ．由对称性，不妨设b ≤ ．8 8 2设甲选的第四个数为 d ． 26情形一： d ∈ c, 1 8 ．乙将 d 与 c 放在同一个绝对值中，由于 c > ，故 8|c d | 2 3 13 ≤ ，而前两个绝对值之和不超过 (1 a) + (1 b) = 2(a + b) ≤ 2= ，故8 8 8S 2 13 15≤ + = ．8 8 83 3情形二：d ∈ b, b + 3 ．乙将d 与b 放在同一个绝对值中，则 |bd | ≤ ．8 8 8a∈ 0, 1c∈ 1 由于，, 1 ，由T 的讨论知乙可以使剩下两个绝对值之和不 22 3 3 3 15超过 ，从而 S ≤ + = ．2 8 2 8 3 2情形三： d ∈ 0, a + ．乙将 d 与 a 放在同一个绝对值中，由于 a |ad | 3≤ ．由于b 1 1∈15 0, ， c∈ , 1 ，同情形二知乙可以使 S ≤ ． 8228 33 32 最后注意到 0, a + b, b + c, 1 = [0, 1]，上述三种情形包括 88 88 了 d 的所有可能性（有可能会重叠，此时可以任意选择某个情形来做）．15综上所述，使甲有获胜策略的 r 是不超过 的所有实数．8……………50 分5

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